SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA VARIABEL
Pengertian SPLDV
a.Persamaan Linier Dua Variabel(PLDV)
Persamaan linier dua variabel adalah suatu persamaan yang memuat dua buah variabel dengan pangkat tertinggi dari masing-masing variabel adalah 1(satu).
contoh : (i) 3x-y-9 =0; adalah sebuah PLDV dengan variabel x dan y
(ii)4m+3n = 24 ; adalah sebuah PLDV dengan variabel m dan n
b.Mengubah Bentuk PLDV
- Bentuk 3x-y-9 = 0 dapat diubah menjadi 3x-9= y atau y=3x-9.
y = 3x-9 dapat diartikan bahwa variabel y dinyatakan dalam x
. - Bentuk 4m+3n = 24 dapat di ubah menjadi 4m= 24-3n atau m = 24-3n/4
m= 24-3n/4,diartikan bahwa variabel m dinyatakan dalam n.
c.Sistem Persamaan Linier Dua Variabel(SPLDV)
Sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa disingkat dengan SPLDV.Dengan demikin, SPLDV dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai
Dengan a,b,c,p,q dan r atau a1,b1,c1,a2,b2 dan c2 merupakan bilangan - bilangan real.
Untuk selanjutnya kita menggunakan bentuk SPLDV yang kedua. Jika c1 = c2 = 0 maka SPLDV itu dikatakan homogen,sedangkan jika c1≠ 0 atau c2≠ 0 maka SPLDV itu dikatakan tak homogen.
Pengertian Penyelesaian SPLDV
Penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel adalah pasangan bilangan x dan y, biasanya ditulis (x,y),yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Jika nilai X=X0 dan Y=Y0 dalam pasangan terurut ditulis (X0,Y0),memenuhi SPLDV
Dalam hal ini variabelnya adalah x dan y.Nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan itu disebut penyelesaian sistem penyelesaian
∗). Jika a1 ≠ b1 atau a2 ≠ b2, maka sitem persamaan linear mempunyai tepat satu penyelesaian.
∗). Jika a1 = b1 ≠ c1 atau a2 = b2 ≠ c2, maka sistem persamaan linear tidak mempunyai penyelesaian.
∗). Jika a1 = b1 = c1 atau a2 = b2 = c2, maka sistem persamaan linear mempunyai banyak penyelesaian.
Sebagai contoh, SPLDV:
-x + y = 1
x + y = 5
mempunyai penyelesaian (2,3) dengan himpunan penyelesaian {(2,3)}.Untuk menguji kebenaran bahwa (2,3) merupakan penyelesaian SPLDV tersebut,subtitusikan nilai x = 2 dan nilai y = 3 ke persamaan -x + y = 1 dan x + y = 5, diperoleh:
-(2) + 3 = 1, benar
2 + 3 = 5, benar
Penyelesaian atau himpunan penyelesaian suatu SPLDV dengan dua peubah dapat ditentukan dengan beberapa cara,diantaranya adalah dengan menggunakan:
1). metode subtitusi
2). metode eliminasi dan
3). metode subtitusi dan eliminasi
4). penerapan SPLDV dalam kehidupan sehari - hari
Penyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi
Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa menggunakan metode subtitusi.
Berikut ini adalah langkah - langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode subtitusi:
a). Nyatakan salah satu persamaan dalam bentuk y = ax + by atau x = my + n.
b). Subtitusikan y atau x pada langkah pertama kepersamaan yang lainnya.
c). Selesaikan persamaan yang diperoleh untuk mendapatkan nilai x = x1 atau y = y1.
d). Subtitusikanlah nilaix = x1 atau y = y1 ke salah satu persamaan linear untuk memperoleh nilai y = y1 atau x = x1.
e). Penyelesaiannya adalah (x1,y1).
Untuk lebih bisa memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:
Contoh:
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.
2x - 3y = 7
3x + 2y = 4
Jawab:
dari persamaan 2x - 3y = 7
2x = 7 + 3y
x = 7 + 3y
———
2
Subtitusikan ke persamaan 3x + 2y = 4, diperoleh:
3(7 + 3y/2) + 2y =4, masing - masing ruas dikalikan 2
3(7 + 3y) + 4y = 8
21 + 9y + 4y = 8
13y = -13
y = -1
Subtitusikan nilai y = -1 ke persamaan x = 7 + 3y / 2 diperoleh:
x = 7 + 3(-1) / 2
x = 2
Jadi,himpunan penyelesaian SPLDV adalah {(2,-1)}
Penyelesaian SPLDV dengan Metode Eliminasi
Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel dengan menggunakan metode eliminasi dapat ditentukan sebagai berikut:
Nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah y,sedangkan untuk mencari nilai x dicari dengan cara mengeliminasi peubah x.
Penyelesaian SPLDV dapat juga menggunakan metode subtitusi dan metode eliminasi secara bersamaan.
Dalam beberapa soal sering juga dijumpai SPLDV yang belum baku. Dalam hal demikian, SPLDV itu diubah dulu menjadi SPLDV yang baku.Kemudian baru ditentukan himpunan penyelesaiannya.
Perhatikan contoh berikut ini:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut ini dengan metode eliminasi;
x+y=4 dan 2x-y=5
jawab:
eliminasi variabel y,sehingga didapat nilai x:
x + y = 4
2x - y = 5
———— +
3x=9
x=3
Nilai y dicari dengan mengeleminasikan variabel x.Caranya kalikan persamaan pertama dengan 2 dan kalikan persamaan kedua dengan 1(agar koefisien x sama).
x + y = 4 (x2) 2x + 2y = 8
2x - y = 5 (x1) 2x - y = 5
———— -
3y = 3
y = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(3,1)}
Penyelesaian SPLDV dengan Metode Subtitusi dan Eliminasi
Metode ini merupakan gabungan dari metode eliminasi untuk menemukan nilai dari variabel pertama dan metode substitusi untuk menemukan nilai variabel kedua. Dalam menyelesaikan suatu sistem persamaan linear dengan dua variabel bisa menggunakan metode subtitusi dan eliminasi disebut juga metode gabungan.
Berikut ini adalah langkah - langkah untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan metode gabungan:
a). Eliminasikan x atau y dengan metode eliminasi.
b). Subtitusikan x atau y yang diperoleh pada langkah diatas kedalam salah satu persamaan semula.
Untuk lebih bisa memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 3x-y=2 dan 2x+3y=5 dengan metode gabungan.
Jawab:
a. 3x - y = 2 (x2) 6x - 2y = 4
2x + 3y = 5 (x3) 6x + 9y = 15
————— -
-11 y = -11
y = 1
b. substitusikan y=1 ke persamaan 3x-y=2
sehingga 3x-1=2
3x=3
x=1
jadi himpunan penyelesaiannya adalah:{(1,1)}
Penerapan SPLDV dalam kkehidupan sehari-hari
Dalam kehidupan sehari - hari diperoleh suatu penyataan yang mengandung sistem persamaan linear dua variabel.
Cara yang harus dilaksanakan kita harus merubah dahulu pernyataan - pernyataan dalam soal kebentuk suatu sistem persamaan - persamaan linier.
Pernyataan - pernyataan harus kita analisa secara hati - hati dan bentuk suatu kalimat matematika atau model matematika ke dalam bentuk suatu sistem persamaan-persamaan baru yang kita cari himpunan penyelesaianya untuk sistem persamaan tersebut dari penafsiran soal aslinya.
Langkah - langkah membuat sistem persamaan linear dari model matematika dari masalah sehari-hari adalah:
a). Identifikasi masalah.
b). Menggunakan huruf untuk mengganti harga barang,banyak benda,atau yang lain.
c). Menuliskan persamaan.
Untuk lebih memahami langkah -langkah diatas perhatikan contoh soal berikut ini:
Contoh:
Ani membeli 3kg beras dan 2kg jagung Rp 27.500,00.Rani membeli 2kg beras dan 3kg jagung pada toko yang sama dengan harga Rp 29.000,00.Tunjukan persamaan dengan mengganti variable harga pada beras dan jagung ?.
Jawab:
dari soal diatas diperoleh:
1. Identifikasi masalah
3kg beras dan 2 kg jagung jumlah harga Rp 27.500,00
2kg beras dan 3 kg jagung jumlah harga Rp 29.000,00
2. Mengganti huruf
Misal:
Harga beras = x
Harga jagung = y
3. Sistem persamaan yang diperoleh
3x + 2y = Rp 27.500,00
2x + 3y = Rp 29.000,00
Menyelesaikan Masalah yang Berkaitan Dengan Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.
Diatas telah diajarkan cara membuat sistem persamaan-persamaan dari pernyataan sehari-hari untuk mencari himpunan penyelesaian model matematika dalam bentuk persamaan-persamaan hasil analisa soal dapat diselesaikan dengan metode yang telah diajarkan.
Langkah-langkah menentukan himpunan penyelesaian persamaan-persamaan dari model matematika masalah sehari-hari :
1. Identifikasi masalah
2. Menggunakan huruf untuk mengganti harga barang,banyak benda,atau yang lain
3. Menuliskan persamaan
4. Memecahkan dengan mencari nilai-nilai dari huruf tersebut dan
5. Memeriksa kebenaran dari hasil perhitungan.
Contoh:
Selisih dua bilangan adalah 20 dan dua kali bilangan pertama ditambah tiga kali bilangan kedua adalah 100.tentukan nilai kedua bilangan itu!
Jawab
1. Identifikasi Masalah
Selisih dua bilangan adalah 20
Dua kali bilangan pertama ditambah di tambah tiga kali bilangan kedua adalah 100.
2. Menggunakan Huruf
Misal:bilangan I = a
bilangan II = b
3. Menuliskan Persamaan
a - b = 20
2a + 3b = 100
4. Memecahkan Persamaan
a = 20 + b
2(20+b) + 3b = 100
40+2b+3b = 100
5b = 60
b = 12
a = 20 + 12
a = 32
Himpunan Penyelesaiannya = {(32,12)}
5. Memeriksa Kebenaran Dari Hasil Hitungan
a - b = 20
32 -12 = 20
20 =20 (benar)
2a + 3b = 100
2.(32)+ 3.(12) = 100
64 + 36 = 100
100 = 100 (benar)
Soal Aplikasi Sistem Persamaan Linear Dengan Dua Variabel